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Euclid 素数无限定理

# Euclid 素数无限定理

目前有文献记载的最古老的素数无限证明源自古希腊数学家 Euclid 的数学名著《几何原本》。这一定理是《几何原本》中第九卷的命题 20。

Book 9 Proposition 20

Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.

Euclid
Euclid

手稿由君士坦丁堡帕特雷的阿雷萨斯书记员斯蒂芬于公元 888 年抄写。它保存在牛津大学博德利图书馆。

## 希腊语

Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ: λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος: εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος: ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η: λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν: καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ: καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν: ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

## 英语

Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Let A, B, C be the assigned prime numbers; I say that there are more prime numbers than A, B, C. For let the least number measured by A, B, C be taken, and let it be DE; let the unit DF be added to DE. Then EF is either prime or not. First, let it be prime; then the prime numbers A, B, C, EF have been found which are more than A, B, C. Next, let EF not be prime; therefore it is measured by some prime number. Let it be measured by the prime number G. I say that G is not the same with any of the numbers A, B, C. For, if possible, let it be so. Now A, B, C measure DE; therefore G also will measure DE. But it also measures EF. Therefore G, being a number, will measure the remainder, the unit DF: which is absurd. Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, C. And by hypothesis it is prime.

## 中文

质数的数量多于任何指定的质数的个数。设 A、B、C 为指定的质数；我断言质数的数量比 A、B、C 多。因为取 A、B、C 能量尽的最小数，设为 DE；在 DE 上加上单位 DF。那么 EF 要么是质数，要么不是。首先，设 EF 是质数；那么质数 A、B、C、EF 已被找到，且多于 A、B、C。其次，设 EF 不是质数；那么它能被某个质数量尽。设它能被质数 G 量尽。我断言 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。因为，若有可能，设 G 与它们中的某一个相同。现在 A、B、C 能量尽 DE；所以 G 也能量尽 DE。但它也能量尽 EF。所以 G，作为一个数，将能量尽余数，即单位 DF：这是荒谬的。所以 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。并且根据假设它是质数。

## 现代数学语言

首先假设存在有限的素数集合，用
表示，

其中
是集合里最大的素数。

然后我们可以定义

是素数并且大于
，

很明显
不能被
整除。

因此，
不能被任何素数整除，

所以它是一个素数并且大于
。

所以
不是一组完整的素数，

故而出现矛盾。

因此，“素数有有限个” 这一假设应被否定。

注意此证明并不说明
个素数的乘积与
的和是素数。

例如，

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